\chapter{Discrete logarithms of elements in the factor base of $\F_{16^{22}}$}
We define $\F_{16^2}^*=\langle \lambda \rangle$ and choose
\[
h_0(x) = \lambda*x^2 + \lambda^4*x + 1, h_1(x) = x + \lambda.
\]
We have
\[
h_1(x) * x^{16} - h_0(x) = x^{17} + \lambda*x^{16} + \lambda*x^2 + \lambda^4*x + 1.
\]
The primitive element of $\F_{16^{22}}^*$ is 
\[
\gamma = \zeta+\lambda^{166}.
\]
The discrete logarithms of elements in the factor base can be retrieved from the last row of $U$.


\newpage
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular} {|c|c||c|c|}
\hline \hline
$\alpha$                 &   $\log_{\gamma}(\alpha)$       &  $\alpha$              &     $\log_{\gamma}(\alpha)$    \\ \hline \hline
$\lambda$                &  209964339996441948585831853    &  $\zeta$               &     60710879082065564476318181 \\ \hline
$\zeta + \lambda$        &  179769773130828885784218745    &  $\zeta + \lambda^2$   &     86011917882104584081826403 \\ \hline
$\zeta + \lambda^3$      &  236019112789849850849424681    &  $\zeta + \lambda^4$   &     46933633336121228215957387 \\ \hline
$\zeta + \lambda^5$      &  221173465396923068473343096	   &  $\zeta + \lambda^6$   &     308729720997288392806486823 \\ \hline
$\zeta + \lambda^7$      &  238767020867656800163346885    &  $\zeta + \lambda^8$    &     249229692564647135746669833 \\ \hline
$\zeta + \lambda^9$      &  255728248257958825516691391    &  $\zeta + \lambda^{10}$ &  238861220284485051312953966 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{11}$   &  141014425320486365997094437    &  $\zeta + \lambda^{12}$ &  57351169457668833342818523  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{13}$   &  272635298571027044685163086    &  $\zeta + \lambda^{14}$ &  100719322310340856608148427 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{15}$   &  65842862513074489251190232     &  $\zeta + \lambda^{16}$ &  189710146569034291571066191 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{17}$   &  259877715295635716869648508    &  $\zeta + \lambda^{18}$ &  152848223929271080204330031 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{19}$   &  110836263677250827248775962    &  $\zeta + \lambda^{20}$ &  231046529834919433871170995 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{21}$   &  65568872696411869821050900     &  $\zeta + \lambda^{22}$ &  60307334715434746813891976  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{23}$   &  200215536159932279444255679    &  $\zeta + \lambda^{24}$ &  44503929244825116272604823  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{25}$   &  151414288572987213210044884    &  $\zeta + \lambda^{26}$ &  191513208909429376661656905 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{27}$   &  31678494587456828868072198     &  $\zeta + \lambda^{28}$ &  262833678289567376907535806 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{29}$   &  261362561372989227740830210    &  $\zeta + \lambda^{30}$ &  64544113481768992685091099  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{31}$   &  110815309026334885271992487    &  $\zeta + \lambda^{32}$ &  38272929298248650299635142  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{33}$   &  209593099940198053153356910    &  $\zeta + \lambda^{34}$ &  254098376231227246727358108 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{35}$   &  286523381199680842916464938    &  $\zeta + \lambda^{36}$ &  225703061200455322748042555 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{37}$   &  277537835888029688430340594    &  $\zeta + \lambda^{38}$ &  144755374370533081585136109 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{39}$   &  282806199678420091551376553    &  $\zeta + \lambda^{40}$ &  242592573882865786904294688 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{41}$   &  164477375566249807027558901    &  $\zeta + \lambda^{42}$ &  16790940196799634667542997  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{43}$   &  201788476357268878225879561    &  $\zeta + \lambda^{44}$ &  30789569200819010309977199  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{45}$   &  69602113679960600249155254     &  $\zeta + \lambda^{46}$ &  56896044191628709633519462  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{47}$   &  146789497291881536620545103    &  $\zeta + \lambda^{48}$ &  3447317785707529939588559   \\ \hline
$\zeta + \lambda^{49}$   &  122846561406747667920178036    &  $\zeta + \lambda^{50}$ &  264063636330769374324153912 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{51}$   &  163060632515077116828725728    &  $\zeta + \lambda^{52}$ &  286738283474003753928851604 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{53}$   &  221651022598497770744059571    &  $\zeta + \lambda^{54}$ &  180185031445968191355368650 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{55}$   &  115063015500116530915979577    &  $\zeta + \lambda^{56}$ &  263201882122936011414932390 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{57}$   &  275447731701131361388423846    &  $\zeta + \lambda^{58}$ &  137516488115605136995070807 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{59}$   &  201638635041094846892842858    &  $\zeta + \lambda^{60}$ &  248426265037071328946795238 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{61}$   &  21664945781132831882194145     &  $\zeta + \lambda^{62}$ &  21221761531665158545318743  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{63}$   &  204094435120631147798589806    &  $\zeta + \lambda^{64}$ &  254552889120096369314125659 \\ \hline
 \hline
\end{tabular}
\caption{Discrete logarithms of elements in the factor base in $\F_{16^{22}}$}
\end{table}

\newpage
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular} {|c|c||c|c|}
\hline \hline
$\alpha$                 &   $\log_{\gamma}(\alpha)$       &  $\alpha$               &     $\log_{\gamma}(\alpha)$    \\ \hline \hline
$\zeta + \lambda^{65}$   &   289874636975270203885102287   & $\zeta + \lambda^{66}$  &  38356433400535569851362782  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{67}$   &   127176781428152837391378571   & $\zeta + \lambda^{68}$  &  117543900388947774136252027 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{69}$   &   175243306466911763718880391   & $\zeta + \lambda^{70}$  &  107288241723807994583331372 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{71}$   &   57060669007602570552304555    & $\zeta + \lambda^{72}$  &  28338929811091622870892315  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{73}$   &   13461254620400547729807065    & $\zeta + \lambda^{74}$  &  275632831542344055603620024 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{75}$   &   282597104514664546849100229   & $\zeta + \lambda^{76}$  &  249182090012406001134451073 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{77}$   &   44277451386825090602542608    & $\zeta + \lambda^{78}$  &  25931437503993118314343671  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{79}$   &   304330643303114522350586653   & $\zeta + \lambda^{80}$  &  35621348167969028340492880  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{81}$   &   220288083389953302898278730   & $\zeta + \lambda^{82}$  &  37463523887513602799754496  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{83}$   &   31736067058981386973169537    & $\zeta + \lambda^{84}$  &  182347154577034337451658430 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{85}$   &   189645984523454097888308178   & $\zeta + \lambda^{86}$  &  73851516947168730695453792  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{87}$   &   286291850054026345086971052   & $\zeta + \lambda^{88}$  &  216142461970107511110839872 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{89}$   &   299022377108822116949235262   & $\zeta + \lambda^{90}$  &  107538391810250925781036332 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{91}$   &   135114964162929353763487128   & $\zeta + \lambda^{92}$  &  271532521053492101130771969 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{93}$   &   126017230209131485181962279   & $\zeta + \lambda^{94}$  &  123589557389618691363052966 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{95}$   &   267946559713519706538081809   & $\zeta + \lambda^{96}$  &  131386396057039197282338325 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{97}$   &   63397409637910064344408164    & $\zeta + \lambda^{98}$  &  268214482768399289515501003 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{99}$   &   62687163929754783208156355    & $\zeta + \lambda^{100}$ &  226262069530141019264691342 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{101}$  &   291808574450751719799517857   & $\zeta + \lambda^{102}$  & 288562355976184316607312602 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{103}$  &   279084552910072189762454922   & $\zeta + \lambda^{104}$  & 7943621058944403017122421   \\ \hline
$\zeta + \lambda^{105}$  &   244357329351520991437525817   & $\zeta + \lambda^{106}$  & 138848339052569498416494549 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{107}$  &   48040365524838535430231015    & $\zeta + \lambda^{108}$  & 227562018734899339503650488 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{109}$  &   124520273216977766000072425   & $\zeta + \lambda^{110}$  & 152296484013242187044201132 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{111}$  &   96375242006871962930490322    & $\zeta + \lambda^{112}$  & 267452696714805180937412774 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{113}$  &   292317477614323473950672871   & $\zeta + \lambda^{114}$  & 197709236440116045373086290 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{115}$  &   185929856993322677943813088   & $\zeta + \lambda^{116}$  & 252178911449513040531469757 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{117}$  &   223493922053908912629338774   & $\zeta + \lambda^{118}$  & 231977308994914165631271516 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{119}$  &   221157793216777566794960635   & $\zeta + \lambda^{120}$  & 101306948787438137176874791 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{121}$  &   45985416084608851965672309    & $\zeta + \lambda^{122}$  & 151536904764013805070939232 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{123}$  &   106041505792500890577993672   & $\zeta + \lambda^{124}$  & 134646753627026767171561772 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{125}$  &   180009515222720122517900009   & $\zeta + \lambda^{126}$  & 70291012123675837358325645  \\ \hline
$\zeta + \lambda^{127}$  &   218119369043810022265615572   & $\zeta + \lambda^{128}$  & 245540875989692359348266090 \\ \hline
 \hline
\end{tabular}
\caption{Discrete logarithms of elements in the factor base in $\F_{16^{22}}$ (continued)}
\end{table}

\newpage
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular} {|c|c||c|c|}
\hline \hline
$\alpha$                 &   $\log_{\gamma}(\alpha)$       &  $\alpha$               &     $\log_{\gamma}(\alpha)$    \\ \hline \hline
$\zeta + \lambda^{129}$  & 108004727810808935583811216	& $\zeta + \lambda^{130}$  &  12384225256451216058248126 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{131}$  & 203964891268478593108042880	& $\zeta + \lambda^{132}$  & 48787676106680171913341506\\ \hline
$\zeta + \lambda^{133}$  & 286380712217229044992437825	& $\zeta + \lambda^{134}$  & 20308196758103421932887114\\ \hline
$\zeta + \lambda^{135}$  & 104964163126226016736276920	& $\zeta + \lambda^{136}$  & 150341418593244145726226165\\ \hline
$\zeta + \lambda^{137}$  & 56890118196069214947473142	& $\zeta + \lambda^{138}$  & 164177178807883281606926689\\ \hline
$\zeta + \lambda^{139}$  & 180973232382845501239575205	& $\zeta + \lambda^{140}$  & 222477892953637131952122456\\ \hline
$\zeta + \lambda^{141}$  & 286594368161711752317875159	& $\zeta + \lambda^{142}$  & 43688270978266751194323615\\ \hline
$\zeta + \lambda^{143}$  & 131943982337562116442533298 	& $\zeta + \lambda^{144}$  & 265241505787327465811780580\\ \hline
$\zeta + \lambda^{145}$  & 248887750459547196181380201	& $\zeta + \lambda^{146}$  & 139168607160253932096148292\\ \hline
$\zeta + \lambda^{147}$  & 292985908824772032067975377	& $\zeta + \lambda^{148}$  & 108414474692313764222372612\\ \hline
$\zeta + \lambda^{149}$  & 12660796348621758354580139	& $\zeta + \lambda^{150}$  & 62594709934864216620976691\\ \hline
$\zeta + \lambda^{151}$  & 283674385814497667564551454 	& $\zeta + \lambda^{152}$  & 180856485911877441877787206\\ \hline
$\zeta + \lambda^{153}$  & 270232423430840911840226111	& $\zeta + \lambda^{154}$  & 81941119355501810048530505\\ \hline
$\zeta + \lambda^{155}$  & 273028014582024357814680195	& $\zeta + \lambda^{156}$  & 1619706945886859236014891\\ \hline
$\zeta + \lambda^{157}$  & 162333751620171367798908629	& $\zeta + \lambda^{158}$  & 167354202157715136603694064\\ \hline
$\zeta + \lambda^{159}$  & 120511067271357845750183419 	& $\zeta + \lambda^{160}$  & 233721479650907236015866657\\ \hline
$\zeta + \lambda^{161}$  & 19261418932558824472714135	& $\zeta + \lambda^{162}$  & 278722764612588770603271989\\ \hline
$\zeta + \lambda^{163}$  & 247964940434080041695664029	& $\zeta + \lambda^{164}$  & 94119770840604026593707304\\ \hline
$\zeta + \lambda^{165}$  & 174823003349440590728062422	& $\zeta + \lambda^{166}$  & 1\\ \hline
$\zeta + \lambda^{167}$  & 272387887732036258931657451	& $\zeta + \lambda^{168}$  & 86633665014398563099078298 \\ \hline
$\zeta + \lambda^{169}$  & 71240618417126117077211982	& $\zeta + \lambda^{170}$  & 69380423528369019607274203\\ \hline
$\zeta + \lambda^{171}$  & 290473411745764444396746141	& $\zeta + \lambda^{172}$  & 307647014722024343326661681\\ \hline
$\zeta + \lambda^{173}$  & 4292602385151658024498901	& $\zeta + \lambda^{174}$  & 51100970268637288483849042\\ \hline
$\zeta + \lambda^{175}$  & 99823187350058002949074008	& $\zeta + \lambda^{176}$  & 178755663142775723048287098\\ \hline
$\zeta + \lambda^{177}$  & 230420020557273960005126157	& $\zeta + \lambda^{178}$  & 209911745634920886405958977\\ \hline
$\zeta + \lambda^{179}$  & 56710234708743977149294456	& $\zeta + \lambda^{180}$  & 212390124967322735522547502\\ \hline
$\zeta + \lambda^{181}$  & 279215020213287223461597263	& $\zeta + \lambda^{182}$  & 222759477499079297538790102\\ \hline
$\zeta + \lambda^{183}$  & 229557230363838312624419156	& $\zeta + \lambda^{184}$  & 224179542377771463262260969\\ \hline
$\zeta + \lambda^{185}$  & 153494506783917713020068093	& $\zeta + \lambda^{186}$  & 120501153194772518027564867\\ \hline
$\zeta + \lambda^{187}$  & 54594993515293880227016105	& $\zeta + \lambda^{188}$  & 67047106912208099346143223\\ \hline
$\zeta + \lambda^{189}$  & 42590084650795238177614836	& $\zeta + \lambda^{190}$  & 134939023546570646293216288\\ \hline
$\zeta + \lambda^{191}$  & 63788416473339949077139236 	& $\zeta + \lambda^{192}$  & 238537016122727763716873768\\ \hline
 \hline
\end{tabular}
\caption{Discrete logarithms of elements in the factor base in $\F_{16^{22}}$ (continued)}
\end{table}


\newpage
\begin{table}[ht]
\centering
\begin{tabular} {|c|c||c|c|}
\hline \hline
$\alpha$                 &   $\log_{\gamma}(\alpha)$       &  $\alpha$               &     $\log_{\gamma}(\alpha)$    \\ \hline \hline
$\zeta + \lambda^{193}$  & 295002255736956108222170497	& $\zeta + \lambda^{194}$  & 33452384403016975443261448\\ \hline
$\zeta + \lambda^{195}$  & 226759344238885371947297049	& $\zeta + \lambda^{196}$  & 164415770599894010763512388\\ \hline
$\zeta + \lambda^{197}$  & 187986527916727874578311046	& $\zeta + \lambda^{198}$  & 175644518701047413423458844\\ \hline
$\zeta + \lambda^{199}$  & 28908169580134404810617896	& $\zeta + \lambda^{200}$  & 105388726372550880815443900\\ \hline
$\zeta + \lambda^{201}$  & 155636927486808049556363921	& $\zeta + \lambda^{202}$  & 176192095622001599103101451\\ \hline
$\zeta + \lambda^{203}$  & 108866575916975923491576193	& $\zeta + \lambda^{204}$  & 294241899566954362455596797\\ \hline
$\zeta + \lambda^{205}$  & 267369168976532669538725609	& $\zeta + \lambda^{206}$  & 76169186974092165494542307\\ \hline
$\zeta + \lambda^{207}$  & 156405280208919919468008289	& $\zeta + \lambda^{208}$  & 157709828485516499901621574\\ \hline
$\zeta + \lambda^{209}$  & 24401378369416601087149902	& $\zeta + \lambda^{210}$  & 169573661363014364539440440\\ \hline
$\zeta + \lambda^{211}$  & 304655298709895222747290922	& $\zeta + \lambda^{212}$  & 7958103489122180990512778\\ \hline
$\zeta + \lambda^{213}$  & 194198690487772072207669312	& $\zeta + \lambda^{214}$  & 20532767864657935340390007\\ \hline
$\zeta + \lambda^{215}$  & 53305984964867387236865971	& $\zeta + \lambda^{216}$  & 38883929858903310463377543\\ \hline
$\zeta + \lambda^{217}$  & 90868289341404546199018233	& $\zeta + \lambda^{218}$  & 306134802728098162291700270\\ \hline
$\zeta + \lambda^{219}$  & 184576654890510203939350760	& $\zeta + \lambda^{220}$  & 226770287058514954515991828\\ \hline
$\zeta + \lambda^{221}$  & 10179366608172305409353807	& $\zeta + \lambda^{222}$  & 106023716390656703238192576\\ \hline
$\zeta + \lambda^{223}$  & 277509672894038710611425998	& $\zeta + \lambda^{224}$  & 9154533272889604905678469\\ \hline
$\zeta + \lambda^{225}$  & 186312962450092254443410871	& $\zeta + \lambda^{226}$  & 90403414721509610199939565\\ \hline
$\zeta + \lambda^{227}$  & 92886667564241681561277764	& $\zeta + \lambda^{228}$  & 33510479531643077540876160\\ \hline
$\zeta + \lambda^{229}$  & 183000976617553522988089591	& $\zeta + \lambda^{230}$  & 91265380486368272182676515\\ \hline
$\zeta + \lambda^{231}$  & 59002359565778703024889233	& $\zeta + \lambda^{232}$  & 34264867479868460810734942\\ \hline
$\zeta + \lambda^{233}$  & 297451755222104591022091022	& $\zeta + \lambda^{234}$  & 57218595182614053027230395\\ \hline
$\zeta + \lambda^{235}$  & 178659004975298089368664498	& $\zeta + \lambda^{236}$  & 102470218532138319325313375\\ \hline
$\zeta + \lambda^{237}$  & 33461539298237214439353268	& $\zeta + \lambda^{238}$  & 156113141502578222172118134\\ \hline
$\zeta + \lambda^{239}$  & 285877312627484608446943264	& $\zeta + \lambda^{240}$  & 85494712539152191660715126\\ \hline
$\zeta + \lambda^{241}$  & 21628792072511708954025118	& $\zeta + \lambda^{242}$  & 250812219019574174253107656\\ \hline
$\zeta + \lambda^{243}$  & 219589814076890310926100124	& $\zeta + \lambda^{244}$  & 161948955699197532689095526\\ \hline
$\zeta + \lambda^{245}$  & 130735119167633291898824545	& $\zeta + \lambda^{246}$  & 84290185480225124048542976\\ \hline
$\zeta + \lambda^{247}$  & 223769879820343027098880311  & $\zeta + \lambda^{248}$  & 149574265919691773280295254\\ \hline
$\zeta + \lambda^{249}$  & 176366643556585220965611906	& $\zeta + \lambda^{250}$  & 49703412344191105681997600\\ \hline
$\zeta + \lambda^{251}$  & 77624305010052315824933994	& $\zeta + \lambda^{252}$  & 16108619132191809860202607\\ \hline
$\zeta + \lambda^{253}$  & 268300592088050288704294264	& $\zeta + \lambda^{254}$  & 16168148772228800730459551\\ \hline
$\zeta + \lambda^{255}$  & 267444368200903281347884604  & 						   & \\ \hline
 \hline
\end{tabular}
\caption{Discrete logarithms of elements in the factor base in $\F_{16^{22}}$ (continued)}
\end{table}
